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\section{Finite-Elemente Räume} %4
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\subsection{FEM in 1D}
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\begin{definition}[1D-Finite-Elemente]\enter
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Sei $\Omega=(0,1)\subseteq\R$. Sei
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\begin{align*}
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\mathcal{T}_n&:=\big\lbrace I_j:0\leq j\leq n\big\rbrace\\
|
|
I_j&:=\big(t_j,t_{j+1}\big)\\
|
|
0&=t_0<t_1<\ldots<t_n< t_{n+1}=1
|
|
\end{align*}
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eine Zerlegung von $(0,1)$. Weiterhin setze
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\begin{align*}
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h_j:=t_{j+1}-t_j,\qquad h:=\max\limits_{0\leq j\leq n} h_j
|
|
\end{align*}
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Für $k\in\N_0$ und $m\in\N_0$ definiere
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\begin{align*}
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S_h^{k,-1}&:=\Big\lbrace\varphi:[0,1]\to\R:\varphi\big|_{I_j}\in P_k,~0\leq j\leq n\Big\rbrace
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|
\quad\text{stückweise Grad-$k$-Polynome}\\
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S_h^{k,m}&:=S_h^{k,-1}\cap C^m\big([0,1]\big)
|
|
\quad\text{stückweise Grad-$k$-Polynome $m$-glatt}\\
|
|
S_{h,0}^{k,m}&:=\Big\lbrace\varphi\in S_h^{k,m}:\varphi(0)=\varphi(1)=0\Big\rbrace
|
|
\quad\ldots\text{ mit kompaktem Träger}
|
|
\end{align*}
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Hierbei ist $P_k$ der Raum der Polynome von höchstens Grad $k$.\\
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Die Funktionen in $S_h^{k,m}$ heißen \textbf{Finite-Elemente-Funktionen}.
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\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pics/Sketch0.png}
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\caption{Beispiel für finite-Elemente-Funktionen in 1D}
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\label{AbbFiniteFunktionen}
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\end{center}
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|
\end{figure}
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}\
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\begin{itemize}
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\item Für $m=k-1$ erhält man Splines.
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\item $\begin{aligned}
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S_h^{k,m}\subseteq H^{m+1}(\Omega)
|
|
\end{aligned}$ wegen Satz \ref{satz1.4}
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|
\item $\begin{aligned}
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|
S_h^{0,m}
|
|
\end{aligned}$ sind konstante Funktionen auf $(0,1)$ für $m\geq0$
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\item Die Räume haben folgende Dimensionen:
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\begin{align*}
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\dim\left(S_h^{k,-1}\right)&=(n+1)\cdot(k+1)\\
|
|
\dim\left(S_h^{k,m}\right)&=\dim\left(S_h^{k,-1}\right)-n\cdot(m+1)\\
|
|
\dim\left(S_{h,0}^{k,m}\right)&=\dim\left(S_h^{k,m}\right)-2
|
|
\end{align*}
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Konkrete wichtige Beispiele:
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\begin{align*}
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\dim\left(S_h^{k,0}\right)&=(n+1)\cdot(k+1)-n\\
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|
\dim\left(S_{h,0}^{k,0}\right)&=(n+1)\cdot(k+1)-n-2=(n+1)\cdot(k-1)+n\\
|
|
\dim\left(S_{h,0}^{1,0}\right)&=(n+1)\cdot 2-n-2=n\\
|
|
\dim\left(S_{h,0}^{2,0}\right)&=(n+1)\cdot 3-n-2=2\cdot n+1
|
|
\end{align*}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{bemerkung}
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Sei $\lbrace\varphi_j\rbrace_{j\in J}$ eine Basis von $S_h^{k,0}$
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|
und Lösung $u_h\in S_{h,0}^{k,0}: u_h=\sum\limits_j u_j\cdot\varphi_j$\\
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|
Diskretes Problem: Finde $u_h\in S_{h,0}^{k,0}$ so, dass
|
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\begin{align*}
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|
&a(u_h,\varphi_h)=l(\varphi_h)&\qquad&\forall \varphi_h\in S_{h,0}^{k,0}\\
|
|
\Longleftrightarrow &a(u_h,\varphi_i)=l(\varphi_i)&\qquad&\forall i
|
|
\end{align*}
|
|
In Matrix-Notation ergibt dies Folgendes:
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\begin{align*}
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|
&A=(a_{i,j}),&&a_{i,j}:=a(\varphi_j,\varphi_i)\\
|
|
&b=(b_i),&&b_i:=l(\varphi_i\nl
|
|
&\qquad\Longleftrightarrow A\cdot U=b,\qquad U=(u_i)
|
|
\end{align*}
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|
Hierbei heißt $A$ \textbf{Stiffness-Matrix}.
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\begin{align*}
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|
S^{1,0}_{h,0}&=\text{span}\big\lbrace\varphi_i:1\leq i\leq n\big\rbrace,\qquad
|
|
\varphi_i(t)=\left\lbrace\begin{array}{cl}
|
|
\frac{t-t_{i-1}}{h_{i-1}}, &\falls t\in I_{i-1}\\
|
|
\frac{t_{i+1}-t}{h_i}, &\falls t\in I_i\\
|
|
0, &\sonst
|
|
\end{array}\right.\\
|
|
\big(\text{supp}(\varphi_i) &= [t_{i-1}, t_{i+1}]\big)\\
|
|
\implies a_{i,j}&=0\text{ für }|i-j|>1\implies A\text{ ist Tridiagonalmatrix}
|
|
\end{align*}
|
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\begin{figure}[!ht]
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\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pics/Sketch1.png}
|
|
\caption{Hut-Funktionen}
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\label{AbbHutFunktionen}
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|
\end{center}
|
|
\end{figure}
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\begin{figure}[!ht]
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|
\begin{center}
|
|
\input{tikz/plot_phi_hat}
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|
\caption{einzelne Hut-Funktion}
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\label{AbbPhiHat}
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|
\end{center}
|
|
\end{figure}
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|
\begin{align*}
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|
S_{h,0}^{2,0}&=\spann\big\lbrace\varphi_1,\ldots,\varphi_n,\psi_0,\ldots,\psi_n\big\rbrace,\qquad
|
|
\psi_i(t)=\left\lbrace\begin{array}{cl}
|
|
4\cdot\frac{(t-t_i)\cdot(t_{i+1}-t)}{h_i^2}, &\falls t\in I_i\\
|
|
0 &\sonst
|
|
\end{array}\right.
|
|
\end{align*}
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|
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|
\begin{figure}[!ht]
|
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\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./pics/Sketch2.png}
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|
\caption{einzelne zweifach diffbare finite-Elemente-Funktion}
|
|
\label{AbbFiniteElementeFunktionZweifachDiffbar}
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|
\end{center}
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|
\end{figure}
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Die Stiffness-Matrix $A$ lässt sich als Blockmatrix schreiben:
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\begin{align*}
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A=\begin{pmatrix}
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|
A_{LL} & A_{LQ}\\
|
|
A_{QL} & A_{QQ}
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\end{align*}
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wobei $A_{QQ}$ eine Diagonalmatrix ist. Somit:
|
|
\begin{align*}
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
A_{LL} & A_{LQ}\\
|
|
A_{QL} & A_{QQ}
|
|
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
|
|
U_L\\ U_Q
|
|
\end{pmatrix}=
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
b_L\\ b_Q
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\end{align*}
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|
Dieses System von Gleichungen ist äquivalent zu:
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\begin{align*}
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|
\big(A_{LL}-A_{LQ}\cdot A^{-1}_{QQ}\cdot A_{QL}\big)\cdot U_L&= b_L-A_{LQ}\cdot A^{-1}_{QQ}\cdot b_Q\\
|
|
A_{QQ}\cdot U_Q&= b_Q-A_{QL}\cdot U_L
|
|
\end{align*}
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\begin{theorem}[Approximationseigenschaft von 1D finiten Elementen]\label{theorem4.2}\enter
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Sei $u\in H^{k+1}(\Omega)\cap H^{1}_0(\Omega)$ für ein $k\geq1$. Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
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|
\inf\limits_{v_h\in S_{h,0}^{k,0}}\big|u-v_h\big|_{1,2}\leq h^k\cdot|u|_{k+1,2}
|
|
\end{align*}
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|
(Hierbei ist $h$ wie oben der Maximalabstand.)
|
|
\end{theorem}
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\begin{proof}
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Definiere Intervallweise die Funktion auf $I_i$ durch
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\begin{align*}
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|
v_h^\ast(t):=L_i(t)\qquad\forall t\in I_i,~\forall i\in\lbrace1,\ldots,n\rbrace
|
|
\end{align*}
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|
wobei die $L_i$ die Lagrange-Interpolationen in $P_k$ bzgl. $t_i+\frac{s}{h}\cdot h_i,~0\leq j\leq h$ sind.\\
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|
Offenbar gilt $v_h^\ast\in S^{k,0}_{h,0}$. \\
|
|
$u-v_n^\ast$ in $\overline{I_i}=[t_i,t_{i+1}]$ hat $(k+1)$ Nullen wegen der Interpolation. Somit hat $\big(u-v_h^\ast)^{(\mu)}$ $(k+1-\mu)$ Nullen.
|
|
\begin{align*}
|
|
\big|u-v_h^\ast\big|_{\mu,2,I_i}
|
|
&=\left\Vert \big(u-v_h^\ast\big)^{(\mu)}\right\Vert_{0,2,I_i}\\
|
|
&\stackrel{}{\leq}
|
|
h_i\cdot\left|\big(u-v_h^\ast\big)^{(\mu)}\right|_{1,2,I_i}\\
|
|
&=h_i\cdot\left|\big(u-v_h^\ast\big)^{(\mu+1)}\right|_{0,2,I_i}\\
|
|
&\leq h_i\cdot\left|u-v_h^\ast\right|_{\mu+1,2,I_i}\\
|
|
\implies
|
|
\big|u-v_h^\ast\big|_{1,2,I_i}
|
|
&\leq h_i^k\cdot\big|u-v_h^\ast\big|_{k+1,2,I_i} \\
|
|
\overset{v_h^\ast|_{I_i}\in P_k}&=
|
|
h_i^k\cdot |u|_{k+1,2,I_i}
|
|
\end{align*}
|
|
Somit folgt
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\begin{align*}
|
|
\big| u-v_h^\ast\big|_{1,2,\Omega}
|
|
&=\left(\sum\limits_{i=1}^n\big|u-v_h^\ast\big|^2_{1,2,I_i}\right)^{\frac{1}{2}}\\
|
|
&\leq\left(\sum\limits_{i=1}^n \underbrace{h_i^{2\cdot k}}_{\leq h^{2\cdot k}} \big|u\big|^2_{k+1,2,I_i}\right)^{\frac{1}{2}}\\
|
|
&\leq h^k\cdot |u|_{k+1,2,\Omega}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{proof}
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\begin{lemma}\label{lemma4.3}
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|
Sei $u\in H^1((a,b))$ mit der Eigenschaft
|
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\begin{align*}
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|
\exists t^\ast\in[a,b]:u(t^\ast)=0.
|
|
\end{align*}
|
|
Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
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|
\Vert u\Vert_{L^\infty}:=\max\limits_{t\in [a,b]}\big|u(t)\big|&\leq(b-a)^{\frac{1}{2}}\cdot |u|_{1,2}\\
|
|
\Vert u\Vert_{0,2}&\leq(b-a)\cdot|u|_{1,2}
|
|
\end{align*}
|
|
Für alle $u\in H^1_0((a,b))$ gilt:
|
|
\begin{align*}
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|
\left(1+(b-a)^2\right)^{\frac{1}{2}}\cdot\Vert u\Vert_{1,2}\leq|u|_{1,2}\leq\Vert u\Vert_{1,2}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{lemma}
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\subsection*{Sturm-Liouville Problem}
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\begin{align}\label{eqSturmLiouvillePDE}\tag{SturmLiouville}
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|
\left\lbrace\begin{array}{rll}
|
|
-\big(p(x)\cdot u'(x)\big)'+q(x)\cdot u(x) &= f(x) &\text{ in } (0,1)\\
|
|
u(0)=u(1)&=0 &
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\end{align}
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|
wobei
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\begin{align*}
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&f\in L^2((0,1)),\\
|
|
&q\in C\big([0,1]\big), &&q(x)\geq0\quad\forall x\in[0,1], \\
|
|
&p\in C\big([0,1]\big), &&p(x)\geq p_0>0\quad\forall x\in [0,1]
|
|
\end{align*}
|
|
\begin{align*}
|
|
a(v,w)=\int\limits_0^1 p(x)\cdot v'(x)\cdot w'(x)+q(x)\cdot v(x)\cdot w(x)\d x
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\begin{theorem}\label{theorem4.4}
|
|
Sei $u\in H^1_0\big((0,1)\big)$ die eindeutige schwache Lösung von \eqref{eqSturmLiouvillePDE} und $u_h$ die zugehörige Lösung in $S_{h,0}^{k,0}$.
|
|
Falls $u\in H^{k+1}\big((0,1)\big)$, dann gilt:
|
|
\begin{align*}
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|
|u-u_h|_{1,2}&\leq c_1\cdot h^k\cdot |u|_{k+1,2}\\
|
|
\Vert u-u_h\Vert_{0,2}&\leq c_1\cdot h^k\cdot |u|_{k+1,2}\\
|
|
\mit c_1&=\frac{2}{p_0}\cdot\max\limits\big\lbrace \Vert p\Vert_{C^0},\Vert q\Vert_{C^0}\big\rbrace
|
|
\end{align*}
|
|
Falls zusätzlich die schwache Formulierung für alle $\varphi\in L^2\big((0,1)\big)$ eine eindeutige schwache Lösung
|
|
\begin{align*}
|
|
u_\varphi\in H^2\big((0,1)\big)\cap H^1_0\big((0,1)\big)\mit |u_\varphi|_{2,2}\leq c_2\cdot\Vert \varphi\Vert_{0,2}
|
|
\end{align*}
|
|
liefert, dann gilt
|
|
\begin{align*}
|
|
\big\Vert u-u_h\big\Vert_{0,2}\leq c_3\cdot h^{k+1}\cdot |u|_{k+1,2}
|
|
\mit c_3=\frac{4\cdot c_2}{p_0}\cdot\max\limits\left\lbrace\Vert p\Vert^2_{C^0},\Vert q\Vert^2_{C^0}\right\rbrace
|
|
\end{align*}
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|
\end{theorem}
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\subsection{FEM in 2D}
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Nun der zweidimensionale Fall: Sei $\Omega\subseteq\R^2$ ein beschränktes Polygon.
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|
Nun zerlegen wir das Polygon in Dreiecke.
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Dieses Verfahren heißt \textbf{Dekomposition / Triangulation.}
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Dadurch erhalten wir eine Menge von \underline{offenen} (nach Konvention) Dreiecken $\lbrace K_i\rbrace_{i\in\lbrace1,\ldots,N\rbrace}$ mit den Eigenschaften:
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
|
\item $\begin{aligned}
|
|
\overline{\Omega}=\bigcup\limits_{i=1}^N \overline{K_i}
|
|
\end{aligned}$
|
|
\item $\begin{aligned}
|
|
i\neq j\implies K_i\cap K_j=\emptyset
|
|
\end{aligned}$
|
|
\item Zulässigkeit: $\overline{K_i}\cap\overline{K_j}$ für $i\neq j$ ist
|
|
\begin{itemize}
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|
\item leer oder
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|
\item ein einziger Punkt oder
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|
\item eine \ul{gemeinsame} Kante.
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|
\end{itemize}
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\begin{figure}[!ht]
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\begin{center}
|
|
\input{tikz/triang_example1}
|
|
\caption{beispielhafte Triangulation, $K_i$ disjunkt}
|
|
\label{AbbTriangulierung}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
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|
|
|
\begin{figure}[!ht]
|
|
\begin{center}
|
|
\input{tikz/triang_example3}
|
|
\caption{Unzulässige Triangulation}
|
|
\label{AbbUnzulaessigeTriangulierung}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
Die Triangulation $\T$ ist formal definiert als Menge der Teildreiecke, also
|
|
\begin{align*}
|
|
\T:=\lbrace K_1,\ldots,K_N\rbrace.
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\subsection*{Raum der stetigen stückweise linearen Funktionen}
|
|
\begin{align*}
|
|
V_h&:=\left\lbrace
|
|
\begin{array}{rl}
|
|
v\in C(\overline{\Omega}) : &v|_{K_i}\in P_1(K_i)~\forall i=1,\ldots,N,\\
|
|
&v|_{\partial\Omega}=0
|
|
\end{array}\right\rbrace
|
|
\subseteq H^1_0(\Omega)\\
|
|
P_1(K_i)&=\spann(\lbrace1,x,y\rbrace)\text{ (zwei-Dimensional, deshalb }x,y)\\
|
|
P_2(K_i)&=\spann\big(\big\lbrace x^\alpha, |\alpha|\leq k\big\rbrace\big)\mit K\subseteq\R^d,~ x^{\alpha}:=x_1^{\alpha_1},\ldots,x_d^{\alpha_d}\\
|
|
Q_k(K_i)&=\spann\big(\big\lbrace x^\alpha,\max\limits_i |\alpha_i|\leq k\big\rbrace\big)\\
|
|
Q_1(K_i)&=\spann(\lbrace 1,x,y,xy\rbrace)\\
|
|
\dim(V_h)&=\text{ Anzahl der inneren Knoten von der zulässigen Triangulierung}\\
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\begin{definition}[Finites Element]\enter %4.5
|
|
Ein \textbf{finites Element} ist ein Tripel $(K,V,\Sigma)$ mit:
|
|
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
|
\item $K\subseteq\R^d$ ist nichtleer, offen, beschränkt und Lipschitz-berandet.
|
|
\item $V=\big\lbrace f:K\to\R\big\rbrace$ ist endlich-dimensionaler Funktionenraum mit $m:=\dim(V)<\infty$. Sei $B_V:=\lbrace\varphi_1,\ldots,\varphi_m\rbrace$ eine Basis von $V$.
|
|
Die Funktionen $v_i\in V$ heißen \textbf{lokale Basis / Shape-Funktionen / Form-Funktionen} genannt.
|
|
\item Sei $\Sigma:=\lbrace N_1,\ldots,N_m\rbrace$ die eindeutige duale Basis zu $B_V$, d.h. es gilt (aus LAAG bekannt):
|
|
\begin{align*}
|
|
\forall i\in\lbrace 1,\ldots,m\rbrace:\exists! N_i\colon V\to\R:\forall j\in\lbrace1,\ldots,m\rbrace: N_i(\varphi_j)=\delta_{i,j}
|
|
\end{align*}
|
|
Somit ist $\Sigma$ eine Basis von $V^\ast$ bestehend aus $m$ linearen Funktionalen $N_i$, den sogenannten \textbf{Nodal-Funktionalen / Freiheitsgrade / DOFs.}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{bemerkung} % war in VL anders
|
|
Die Nodal-Funktional-Menge $\Sigma$ gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\Sigma\text{ ist Basis von }V^\ast\Longleftrightarrow\Sigma\text{ ist \textbf{$V$-unisolvent}, d. h.:}\\
|
|
\forall (\alpha_1,\ldots,\alpha_m)\in\R^m:\exists! v\in V:\forall i\in\lbrace1,\ldots,m\rbrace:N_i(v)=\alpha_i
|
|
\end{align*}
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
\underline{Zeige Basis $\implies V$-unisolvenz:}\\
|
|
Sei $i\in\lbrace1,\ldots,m\rbrace$ und $\alpha_i\in\R$ beliebig.\nl
|
|
\underline{Existenz}:
|
|
Da $B_V$ eine Basis von $V$ ist, gilt
|
|
\begin{align*}
|
|
\forall v\in V:\exists v_1,\ldots,v_m\in\R:v=\sum\limits_{j=1}^m\varphi_j\cdot v_j
|
|
\end{align*}
|
|
und somit
|
|
\begin{align*}
|
|
N_i(v)
|
|
=N_i\left(\sum\limits_{j=1}^m\varphi_j\cdot v_j\right)
|
|
\overset{\text{Lin}}=
|
|
\sum\limits_{j=1}^m v_j\cdot \underbrace{N_i(\varphi_j)}_{=\delta_{i,j}}=v_i\qquad\forall v\in V.
|
|
\end{align*}
|
|
Wähle als $v_i:=\alpha_i\in\R$.\nl
|
|
\underline{Eindeutigkeit:}
|
|
Seien $v,\tilde{v}\in V$ mit $N_i(v)=\alpha_i=N_i(\tilde{v})$.
|
|
Dann gilt schon $v=\tilde{v}$, denn:
|
|
\begin{align*}
|
|
v_i=N_i(v)=\alpha_i=N_i(\tilde{v})=\tilde{v_i}\qquad\forall i\in\lbrace1,\ldots,m\rbrace
|
|
\end{align*}
|
|
\underline{Zeige $V$-unisolvenz $\implies$ Basis}:
|
|
Nachrechnen.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
Es ist sinnvoll und naheliegend für ein Finites-Element $(K,V,\Sigma)$ $\dim(V)=|\Sigma|=n$ zu wählen, mit $n$ Anzahl der Ecken des Polygons $K\subseteq\R^2$.
|
|
Nodal-Funktionale bilden Funktionen auf deren Werte an den "Ecken" ab.
|
|
|
|
\begin{definition}[affin äquivalente finite Elemente]\enter %4.6
|
|
Zwei finite Elemente $(K,V,\Sigma)$ und $(\hat{K},\hat{V},\hat{\Sigma})$ heißen \textbf{affin äquivalent}
|
|
\begin{align*}
|
|
:\Longleftrightarrow\exists F:\R^d\to\R^d\text{ affin \& invertierbar v.d.F. }
|
|
\hat{x}\mapsto B_k\cdot\hat{x}+b_k\mit B_k\in\R^{d\times d},b_k\in\R^d
|
|
\end{align*}
|
|
mit den Eigenschaften
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|
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
|
|
\item $\begin{aligned}
|
|
K=F(\hat{K})
|
|
\end{aligned}$
|
|
\item $\begin{aligned}
|
|
V=\Big\lbrace v: K\to\R~\Big|~\exists\hat{v}\in\hat{V}: v=\hat{v}\circ F^{-1}\Big\rbrace
|
|
\end{aligned}$
|
|
\item $\begin{aligned}
|
|
\Sigma=\Big\lbrace N:V\to\R~\Big|~\exists\hat{N}\in\hat{\Sigma}: N(v)=\hat{N}(v\circ F)\Big\rbrace
|
|
\end{aligned}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{beisp}\
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|
\begin{figure}[H]
|
|
\begin{center}
|
|
\input{tikz/plot_affin_equiv_triang}
|
|
\caption{affin äquivalente Triangulation}
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|
\label{AbbAffinEquivTriang}
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|
\end{center}
|
|
\end{figure}
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|
|
|
\begin{align*}
|
|
F:\left\lbrace\begin{array}{l}
|
|
(0,0)\mapsto(a_1,a_2)\\
|
|
(1,0)\mapsto(b_1,b_2)\\
|
|
(0,1)\mapsto(c_1,c_2)
|
|
\end{array}\right.
|
|
\qquad\qquad
|
|
\begin{matrix}
|
|
\hat{N}_1(\hat{v})&=\hat{v}(0,0) &&N_1(v)=v(a_1,a_2)\\
|
|
\hat{N}_2(\hat{v})&=\hat{v}(1,0) &&N_2(v)=v(b_1,b_2)\\
|
|
\hat{N}_3(\hat{v})&=\hat{v}(0,1) &&N_3(v)=v(c_1,c_2)
|
|
\end{matrix}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beisp}
|
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|
|
Sei $V$ ein Vektorraum mit Basis $\lbrace\varphi_1,\ldots,\varphi_m\rbrace$. Setze
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|
\begin{align*}
|
|
\Sigma&=\lbrace N_1,\ldots,N_m\rbrace\\
|
|
M&=(m_{i,j}),\qquad m_{i,j}:=N_i(\varphi_j)\\
|
|
M&\text{ invertierbar }\Longleftrightarrow \text{ unisolvent}
|
|
\end{align*}
|
|
Unisolvenz: Gegeben $\alpha_1,\ldots,\alpha_m\in\R$. Gibt es ein eindeutiges $v\in V$
|
|
\begin{align*}
|
|
N_i(v)&=\alpha_i,\qquad i\in\lbrace1,\ldots,m\rbrace\\
|
|
\stackrel{v=\sum\limits_{j=1}^m c_j\cdot\varphi_j}{\Longleftrightarrow}\quad
|
|
\sum\limits_{j=1}^m N_i(\varphi_j)\cdot c_j&=\alpha_i\\
|
|
\Longleftrightarrow
|
|
M\cdot c&=\alpha
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\begin{beispiel} % war nicht in VL
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|
Dreiecke:
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|
\begin{itemize}
|
|
\item $P_0$: stückweise konstante FEM,\\ $\dim(P_0(K))=1$
|
|
\item $P_1$: konformes stückweises linearen FEM, $\dim(P_1(K))=d+1\overset{d=2}{=}3$
|
|
\item $P_2$: konforme stückweise quadratische FEM, $\dim(P_2(K))=\frac{(d+1)\cdot(d+2)}{2}=\overset{d=2}{=}6$
|
|
\item $P_3$: konforme stückweise kubische FEM, $\dim(P_3(K))=\frac{(d+1)\cdot(d+2)\cdot(d+3)}{6}\overset{d=2}{=}10$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\begin{figure}[H] % oder ht!
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=1\textwidth]{./pics/FEM_Dreieck.png}
|
|
\caption{Nodal Functionals für $P_0,P_1,P_2,P_3$}
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|
\label{AbbFEM-Dreieck}
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|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Quadrate:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $Q_0$: stückweise konstantes FEM: $\dim(Q_0(K))=1$
|
|
\item $Q_1$: konforme stückweise $d$-lineare FEM, $\dim(Q_1(K))=2^d\overset{d=2}{=}4$
|
|
\item $Q_2$: konforme stückweise $d$-dimensionalen FEM, $\dim(Q_2(K))=3^d\overset{d=2}{=}8$
|
|
\item $Q_3$: konforme stückweise $d$-kubische FEM, $\dim(Q_3(K))=4^d\overset{d=2}{=}16$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\begin{figure}[H] % oder ht!
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=1\textwidth]{./pics/FEM_Quadrat.png}
|
|
\caption{Nodal Functionals für $Q_1,Q_2,Q_3$}
|
|
\label{AbbFEM-Qudrat}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{beispiel}
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\begin{definition}[globales Nodal-Funktional / globale Freiheitsgrade (dof)]\enter
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|
Seien $(K,V,\Sigma)$ und $(K',V',\Sigma')$ Finite-Elemente.
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|
Zwei lokale Nodal-Funktionale $N_i^K\in\Sigma$ und $N_j^{K'}\in\Sigma'$ \textbf{gehören zum selben globalen Freiheitsgrad}, i.Z.
|
|
\begin{align*}
|
|
N_i^K\sim N_j^{K'}:\Longleftrightarrow N_i^K(\varphi|_K)=N_j^{K'}(\varphi|_{K'})\qquad\forall\varphi\in C^\infty(U)
|
|
\end{align*}
|
|
wobei $U\subseteq\Omega$ eine offene Menge mit der Eigenschaft $\overline{K\cup K'}\subseteq U$ ist.\\
|
|
Anschaulich: Zwei Nodal-Funktionale sind $\sim$-äquivalent, wenn sie dieselbe Ecke beschreiben.
|
|
$\sim$ ist eine Äquivalenzrelation.\\
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|
Die \textbf{Menge aller globalen Freiheitsgrade} einer Triangulation $\T=\lbrace K_1,\ldots,K_N\rbrace$ bezeichnen wir mit
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|
\begin{align*}
|
|
\Sigma_h:=\left.\left(\bigcup\limits_{i=1}^N\bigcup\limits_{j=1}^m N_j^{K_i}\right)\right/\sim
|
|
\end{align*}
|
|
Für $[N]_\sim\in\Sigma_h$ bezeichne
|
|
\begin{align*}
|
|
\Lambda\big([N]_\sim\big):=\left\lbrace N\in[N]_\sim\right\rbrace
|
|
\end{align*}
|
|
die Menge alle lokalen Freiheitsgrade $N$, die zu $[N]_\sim$ gehören.
|
|
\end{definition}
|
|
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|
\begin{figure}[H] % oder ht!
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|
\begin{center}
|
|
\input{./tikz/global_degrees_of_freedom}
|
|
\caption{Hier werden die 12 DOFs der 4 FEMs per Äquivalenzrelation (rot) zu 5 globalen DOFs zusammengefasst.}
|
|
\label{AbbGlobalDegreesOfFreedom}
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|
\end{center}
|
|
\end{figure}
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|
|
\begin{definition}[Raum der finiten Elemente]\enter
|
|
Sei $\T_h=\lbrace K_1,\ldots,K_N\rbrace$ eine Triangulation von $\Omega$ und seien\\ $\big((K_i,V_i(K_i),\Sigma_i(K_i)\big),i\in\lbrace1,\ldots,N\rbrace$ die zugehörigen Finite-Elemente.\\
|
|
Ein \textbf{Finite-Elemente-Raum} $V_h$ ist gegeben durch
|
|
\begin{align*}
|
|
V_h:=\Bigg\lbrace v=(v_{K})_{K\in\T_h}\colon\bigcup\limits_{i=1}^N K_i\to\R\Bigg|
|
|
\begin{array}{c}
|
|
\forall [N]_\sim\in\Sigma_h:\forall N_i^{K},N_j^{K'}\in\Lambda([N]_\sim):\\
|
|
N_i^{K}(v|_K)=N_j^{K'}(v|_{K'})
|
|
\end{array}
|
|
\Bigg\rbrace
|
|
\end{align*}
|
|
wobei $(K,V(K),\Sigma(K)),K\in\T_h$ finite Elemente sind.
|
|
Im FEM-Raum liegen praktisch alle Funktionen $v:\Omega\to\R$ und es gibt eine Art globales Nodal-Funktional $N:(\Omega\to\R)\to\R$ (globales DOF), siehe Abbildung \ref{AbbGlobalDegreesOfFreedom}.
|
|
Eine Funktion $v_h\in V_h$ ist eindeutig bestimmt durch die Werte des globalen DOFs $N(v_h)$.
|
|
\end{definition}
|
|
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|
Familie aller affin äquivalenten Finiten-Elementen
|
|
\begin{align*}
|
|
\big(K,V(K),\Sigma(K)\big)\sim\big(\hat{K},\hat{V},\hat{\Sigma}\big)
|
|
\end{align*}
|
|
Interpolation:
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\begin{align*}
|
|
I_h(v):=\sum\limits_{i=1}^n N_i(v)\cdot\varphi_i\in V_h
|
|
\end{align*}
|
|
wobei $\Sigma_h=\lbrace N_1,\ldots,N_n\rbrace\text{ und }\lbrace\varphi_1,\ldots,\varphi_n\rbrace$ eine Basis von $V_h$ ist mit der Eigenschaft $N_i(\varphi_j)=\delta_{i,j}$.\nl
|
|
\textbf{Wichtig:} Die Interpolationsfunktion erfüllt eine Lokalisierungseigenschaft:
|
|
\begin{align*}
|
|
\big(I_h(v)\big)\big|_K&=I_h^K\big(v|_K\big)\quad\text{wobei}\\ I_h^K(v)&=\sum\limits_{i=1}^{m_K} N_i^{(K)}(v)\cdot\varphi_i^K,\qquad N_i^K(\varphi_j^K)=\delta_{i,j}\qquad\Sigma(K)=\left\lbrace N_1^K,\ldots,N_{m_K}^K\right\rbrace
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\begin{theorem}\label{theorem4.9}
|
|
Seien $K,\hat{K}\subseteq\R^d$ zwei affin äquivalente offene Teilmengen des $\R^d$, d. h. es existiert eine affine bijektive Abbildung
|
|
\begin{align*}
|
|
F:\hat{K}\to K,\qquad \hat{x}\mapsto B_K\cdot\hat{x}+ b_K\qquad\mit B_K\in\R^{d\times d}\text{ invertierbar und }b_K\in\R^d
|
|
\end{align*}
|
|
Falls $v\in W^{m,p}(K)$ für $m\geq0,p\in[1,\infty)$, dann gehört $\hat{v}:=v\circ F$ zu $W^{m,p}(\hat{K})$ und wir erhalten
|
|
\begin{align*}
|
|
\big|\hat{v}\big|_{m,p,\hat{K}}\leq c\cdot\Vert B_K\Vert^m\cdot\big|\det(B_K)\big|^{-\frac{1}{p}}\cdot|v|_{m,p,K}
|
|
\end{align*}
|
|
wobei $c=c(m,d)$ eine Konstante ist und $\Vert\cdot\Vert$ eine Matrixnorm, die durch die euklidische Vektornorm induziert wird.\\
|
|
Zusätzlich gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
|v|_{m,p,K}&\leq c\cdot\Vert B_K^{-1}\Vert^m\cdot\big|\det(B_K)\big|^{\frac{1}{p}}\cdot|\hat{v}|_{m,p,\hat{K}}\\
|
|
F^{-1}(x)&=B_K^{-1}\cdot x-B_K^{-1}\cdot b_K
|
|
\end{align*}
|
|
\end{theorem}
|
|
|
|
\begin{lemma}\label{lemma4.10}
|
|
Seien $K,\hat{K}$ affin äquivalent mit $F(\hat{x})=B_K\cdot\hat{x}+b_K$. Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\Vert B_K\Vert&\leq\frac{h_K}{\hat{\rho}},\qquad\Vert B_K^{-1}\Vert\leq\frac{\hat{h}}{\rho_K}\qquad\text{wobei}\\
|
|
h_K&:=\diam(K):=\sup\limits_{x,y\in K}\Vert x-y\Vert\\
|
|
\rho_K&:=\sup\big\lbrace\diam(S):S\subseteq K\text{ Sphäre}\big\rbrace
|
|
\end{align*}
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
\begin{align*}
|
|
\Vert B_K\Vert&=\sup\limits_{z\neq0}\frac{\Vert B_K \cdot z\Vert}{\Vert z\Vert}=\frac{1}{\hat{\rho}}\cdot\sup\limits_{\Vert z\Vert=\hat{\rho}}\Vert B_K \cdot z\Vert
|
|
\end{align*}
|
|
Für alle $\eta$ mit $\Vert \eta\Vert=\hat{\rho}$ existieren zwei Punkte $\hat{x},\hat{y}\in\hat{K}$ so, dass $\eta=\hat{x}-\hat{y}$. Seien $x=F(\hat{x}),y=F(\hat{y})$. Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
x-y&=B_K\cdot\hat{x}+b_K-\big(B_K\cdot\hat{y}+b_K\big)=B_K\cdot(\hat{x}-\hat{y})=B_K \cdot \eta\\
|
|
\Vert B_K\cdot \eta\Vert&=\Vert x-y\Vert\leq h_K\\
|
|
\implies \Vert h_K\Vert&\leq\frac{1}{\hat{\rho}}\cdot\sup\limits_{\Vert y\Vert=\hat{\rho}}\underbrace{\Vert B_K\cdot \eta\Vert}_{\leq h_K}\leq\frac{h_K}{\hat{\rho}}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{lemma}[Deny-Lions]\label{lemma4.11DenyLions}\enter
|
|
Sei $P_r(K)$ der Raum aller Polynome mit höchstens Grad $r$. Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\exists c(K)>0:\inf\limits_{P\in P_r(K)}\Vert v\pm P\Vert_{r+1,p,K}\leq c(K)\cdot |v|_{r+1,p,K}\qquad\forall v\in W^{r+1,p}(K)
|
|
\end{align*}
|
|
(Hier $\pm$, da es egal ist, ob $-$ oder $+$, da $P\in P_r(K)\gdw -P\in P_r(K)$.)
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
\begin{align*}
|
|
n:=\dim \big(P_r(K)\big)=\begin{pmatrix}
|
|
r+d\\ d
|
|
\end{pmatrix}\text{ (Binomialkoeffizient)}
|
|
\end{align*}
|
|
Setze für $\alpha\in\N_0^d\mit|\alpha|\leq r $:
|
|
\begin{align*}
|
|
N_\alpha:W^{r+1,p}(K)\to\R,\qquad v\mapsto\int\limits_K D^\alpha v\d x\\
|
|
\alpha\longleftrightarrow x^\alpha =\prod\limits_{i=1}^d x_i^{\alpha_i}
|
|
\end{align*}
|
|
$\big\lbrace N_\alpha:|\alpha|\leq r\big\rbrace$ ist unisolvent auf $P_r(K)$, denn:
|
|
\begin{align*}
|
|
\left.
|
|
\begin{array}{cl}
|
|
N_\alpha(p)=0, &\forall |\alpha|\leq r \\
|
|
p\in P_r(K)&
|
|
\end{array}
|
|
\right\rbrace
|
|
\implies p\equiv 0.
|
|
\end{align*}
|
|
Wir werden die Ungleichung
|
|
\begin{align}\label{eqProof4.11Stern}\tag{$\ast$}
|
|
\Vert v\Vert_{r+1,p,K}\leq c(K)\cdot\left(|v|_{r+1,p,K}+\sum\limits_{|\alpha|\leq r}\big|N_\alpha (v)\big|\right)\qquad\forall v\in W^{r+1,p}(K)
|
|
\end{align}
|
|
indirekt zeigen. Angenommen, diese Ungleichung gilt nicht. Dann gibt es eine Folge $(v_l)_{l\in\N}$ mit
|
|
\begin{align}
|
|
\Vert v_l\Vert_{r+1,p,K}=1\qquad\forall l\in\N\nonumber\\
|
|
\lim\limits_{l\to\infty} \left(|v|_{r+1,p,K}+\sum\limits_{|\alpha|\leq r}\big|N_\alpha (v_1)\big|\right)=0\label{eqProof4.11SternStern}\tag{$\ast\ast$}
|
|
\end{align}
|
|
Mit der kompakten Einbettung $W^{r+1,p}(K)\stackrel{c}{\hookrightarrow} W^{r,p}(K)$ erhalten wir:\\
|
|
Es gibt eine Teilfolge $(v_m)_{m\in\N}\subseteq(v_l)_{l\in\N}$, die in $W^{r,p}(K)$ gegen $v\in W^{r,p}(K)$ konvergiert.\\
|
|
Aus \eqref{eqProof4.11SternStern} folgt
|
|
\begin{align*}
|
|
\lim\limits_{m\to\infty}|v_m|_{r+1,p,K}=0\\
|
|
\end{align*}
|
|
Folglich ist $(v_m)_{m\in\N}$ eine Cauchyfolge in $W^{r+1,p}(K)$.
|
|
Da $W^{r+1,p}(K)$ ein Banachraum und damit vollständig ist, konvergiert diese Folge: $v_m\stackrel{m\to\infty}{\longrightarrow} v\in W^{r+1,p}(K)$ und somit $|v|_{r+1,p,K}=0$.
|
|
Also $v\in P_r(K)$.
|
|
\begin{align*}
|
|
\stackrel{\eqref{eqProof4.11SternStern}}{\implies}
|
|
\left.\begin{array}{ll}
|
|
&N_\alpha(v)=0\qquad\forall |\alpha|\leq r\\
|
|
& v\in P_r(K)
|
|
\end{array}\right\rbrace\implies v \equiv 0
|
|
\end{align*}
|
|
Dies ist ein Widerspruch zu $\Vert v\Vert_{r+1,p,K}=1$. Also folgt \eqref{eqProof4.11Stern}.\\
|
|
Für jedes $v\in W^{r+1,p}(K)$ gibt es ein $q\in P_r(K)$ so, dass
|
|
\begin{align*}
|
|
N_\alpha(v)=-N_\alpha(q)\qquad\forall|\alpha|\leq r
|
|
\end{align*}
|
|
Es folgt
|
|
\begin{align*}
|
|
\inf\limits_{p\in P_r(K)}\Vert v+p\Vert_{r+1,p,K}
|
|
&\leq\Vert v+q\Vert_{r+1,p,K}\\
|
|
&\overset{\eqref{eqProof4.11Stern}}{\leq}
|
|
c(K)\cdot\Big(\underbrace{|v+p|_{r+1,p,K}}_{=|v|_{r+1,p,K}}+\sum\limits_{|\alpha|\leq r}\underbrace{|N_\alpha(v+q)|}_{=0}\Big)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{lemma}[Bramble-Hilbert]\label{lemma4.12BrambleHilbert}
|
|
Sei $(Y,\Vert\cdot\Vert_Y)$ ein Banachraum und $F:W^{r+1,p}(K)\to Y$ linear mit den Eigenschaften
|
|
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
|
\item $\begin{aligned}
|
|
\big\Vert F(u)\Vert_Y\leq c_1\cdot\Vert u\Vert_{r+1,p,K}\qquad\forall u\in W^{r+1,p}(K)
|
|
\end{aligned}$ mit $c_1$ unabhängig von $u$.
|
|
\item $\begin{aligned}
|
|
F(p)=0\qquad\forall p\in P_r(K)
|
|
\end{aligned}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
Dann gibt es Konstanten $c,\tilde{c}>0$ so, dass
|
|
\begin{align*}
|
|
\big\Vert F(u)\big\Vert_Y
|
|
\leq c\cdot\inf\limits_{p\in P_r(K)}\Vert u+p\Vert_{r+1,p,K}
|
|
\leq
|
|
\tilde{c}\cdot |u|_{r+1,p,K}\qquad\forall u\in W^{r+1,p}(K)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
\begin{align*}
|
|
F(u)
|
|
\overset{\text{(ii)}}&{=}
|
|
F(u)+\underbrace{F(p)}_{\overset{\text{(ii)}}=0}
|
|
\overset{\text{Lin}}=
|
|
F(u+p)
|
|
\qquad\forall p\in P_r(K)\\
|
|
\implies
|
|
\big\Vert F(u)\big\Vert_Y
|
|
&=\inf\limits_{p\in P_r(K)}\Vert F(u+p)\big\Vert_Y\\
|
|
\overset{\text{(i)}}&{\leq}
|
|
c_1\cdot\inf\limits_{p\in P_r(K)}\Vert u+p\Vert_{r+1,p,K}\\
|
|
\overset{\ref{lemma4.11DenyLions}}&{\leq}
|
|
\tilde{c}\cdot |u|_{r+1,p,K} \qedhere
|
|
\end{align*}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{lemma}\label{lemma4.13}
|
|
Seien $(\hat{K},\hat{V},\hat{\Sigma})$ und $(K,V,\Sigma)$ zwei affin-äquivalente Finite-Elemente wobei
|
|
\begin{align*}
|
|
F_k:\hat{K}\to K,\qquad\hat{x}\mapsto B_K\hat{x}+b_K
|
|
\end{align*}
|
|
Dann gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
(I_K v)\circ F_k=\hat{I}(v\circ F_K)
|
|
\end{align*}
|
|
wobei $\hat{I}$ und $I_K$ die Interpolations-Operatoren auf $\hat{K}$ bzw. $K$.
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
(Nur Beweisidee, da zu technisch.)
|
|
Nutze:
|
|
\begin{align*}
|
|
\hat{I}\hat{v}&=\sum\limits_{i=1}^m\hat{N}_i(\hat{v})\cdot\hat{\varphi}_i\\
|
|
I_K v&=\sum\limits_{i=1}^m N_i(v)\cdot\varphi\\
|
|
\varphi_i\circ F_K&=\hat{\varphi}\\
|
|
N(v)&=\hat{N}(v\circ F_K)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{theorem}\label{theorem4.14}
|
|
Seien $(\hat{K},\hat{V},\hat{\Sigma})$ Finites-Element, $m,r\in\N_0$ und $p,q\in[1,\infty]$ so, dass
|
|
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
|
\item $\begin{aligned}
|
|
W^{r+1,p}(\hat{K})\hookrightarrow W^{m,q}(\hat{K})
|
|
\end{aligned}$
|
|
\item $\begin{aligned}
|
|
P_r(\hat{K})\subseteq\hat{V}\subseteq W^{m,q}(\hat{K})
|
|
\end{aligned}$
|
|
\item $\begin{aligned}
|
|
\hat{N}_i
|
|
\end{aligned}$ lineare stetige Funktionale auf
|
|
\begin{align*}
|
|
W^{r+1,p}(\hat{K})\qquad\forall\hat{N}_i\in\hat{\Sigma}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
Dann existiert eine Konstante $c(\hat{K},\hat{V},\hat{\Sigma})$ so, dass
|
|
\begin{align*}
|
|
\big| v-I_K v\big|_{m,q,K}\leq c(\hat{K},\hat{V},\hat{\Sigma})\cdot\big(\meas(K)\big)^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\cdot\frac{h_K^{r+1}}{\rho_K^m}|v|_{r+1,p,K}
|
|
\end{align*}
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|
für alle $v\in W^{r+1,p}(K)$ wobei $(K,V,\Sigma )$ ist affin-äquivalent zu $(\hat{K},\hat{V},\hat{\Sigma})$ und
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\begin{itemize}
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\item $\meas(K)$ ist das $d$-dimensionale Maß von $K$
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\item $h_K:=\diam(K)$
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\item $\rho_K$ ist der Durchmesser der größten Kugel in $K$
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\end{itemize}
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Im Fall $p=q=2,m=1,\rho_K\sim h_K$ erhält man
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\begin{align*}
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\big|v-I_K v\big|_{1,2,K}\leq \hat{c}\cdot h_K^r\cdot |v|_{r+1,2,K}
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\end{align*}
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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\begin{align*}
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\big\Vert \hat{I} \hat{v} \big\Vert_{m,q,\hat{K}}
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&=\left\Vert \sum\limits_{i=1}^m \hat{N}_i(\hat{v}) \cdot \hat{\varphi}_i \right\Vert_{m,q,\hat{K}} \\
|
|
&\leq \sum\limits_{i=1}^m \big| \hat{N}_i(\hat{v}) \big| \cdot \big\Vert \hat{\varphi}_i \big\Vert_{m,q,\hat{K}} \\
|
|
&\leq \underbrace{\left( \sum\limits_{i=1}^m c\cdot \big\Vert \hat{\varphi}_i \big\Vert_{m,q,\hat{K}}\right)}_{=:c(\hat{K},\hat{V},\hat{\Sigma})}\cdot\Vert\hat{v}\Vert_{r+1,p,\hat{K}}
|
|
\end{align*}
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\begin{align*}
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&\implies \hat{I}:W^{r+1,p}(\hat{K})\to W^{m,q}(\hat{K})\text{ ist stetig}
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\end{align*}
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Aus $P_r(\hat{K})\subseteq \hat{V}$ folgt $\hat{I}\hat{p}=\hat{p}$ für alle $\hat{p}\in P_r(\hat{K})$. Es folgt
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\begin{align*}
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\hat{v}-\hat{I}\hat{v}
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&=\big(\hat{v}+\hat{p}\big)-\hat{I}\big(\hat{v}+\hat{p}\big) \\
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&=\big(\id -\hat{I}\big)\big(\hat{v}+\hat{p}\big)
|
|
\qquad\forall \hat{v}\in W^{r+1,p}(\hat{K}),\forall \hat{p}\in P_r(\hat{K})
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\end{align*}
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\begin{align*}
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|
\big| \hat{v}-\hat{I} \hat{v} \big|_{m,q,\hat{K}}
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&=\Big| \big( \id - \hat{I} \big) \big( \hat{v}+\hat{p} \big) \Big|_{m,q,\hat{K}} \qquad\forall\hat{p}\in P_r(\hat{K})\\
|
|
&\leq \inf\limits_{\hat{p}\in P_r(\hat{K})} \Big| \big(\id-\hat{I}\big) \big(\hat{v}+\hat{p}\big) \Big|_{m,q,\hat{K}}\\
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|
\overset{\text{stetig}}&{\leq}
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|
c(\hat{K},\hat{V},\hat{\Sigma})\cdot\inf\limits_{\hat{p}\in P_r(\hat{K})}\big\Vert\hat{v}+\hat{p}\big\Vert_{r+1,p,\hat{K}} \\
|
|
\overset{\ref{lemma4.11DenyLions}}&{\leq}
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|
c(\hat{K},\hat{V},\hat{\Sigma})\cdot\big|\hat{v}\big|_{r+1,p,\hat{K}}
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\end{align*}
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Aus dem vorherigen Lemma \ref{lemma4.13} folgt:
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\begin{align*}
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&\big(v-I_K v\big)\circ F_K=\underbrace{v\circ F_K}_{=:\hat{v}}-\hat{I}(v\circ F_K)=\hat{v}-\hat{I}\hat{v}\\
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|
\big| v-I_K v\big|_{m,q,K}
|
|
\overset{\ref{theorem4.9}}&{\leq}
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|
c\cdot\big\Vert B_K^{-1}\big\Vert^m\cdot\big|\det(B_K)\big|^{\frac{1}{q}}\cdot\big|\underbrace{(v-I_K v)\circ F_K}_{=\hat{v}-\hat{I}\hat{v}}\big|_{m,q,K}\\
|
|
&\leq c\cdot\big\Vert B_K^{-1}\big\Vert^m\cdot|\det(B_K)|^{\frac{1}{p}}\cdot\big|\hat{v}\big|_{r+1,p,\hat{K}}\\
|
|
\overset{\ref{theorem4.9}}&{\leq}
|
|
c\cdot\big\Vert B_K^{-1}\big\Vert^m\cdot\Vert B_K\Vert^{r+1}\cdot|\det(B_K)|^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\cdot |v|_{r+1,p,K}\\
|
|
\overset{\ref{lemma4.10}}&{\leq}
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|
c\cdot\frac{\hat{h}^m}{\hat{\rho}^{r+1}}\cdot\frac{h_K^{r+1}}{\rho^m_K}\cdot|\det(B_K)|^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\cdot|v|_{r+1,p,K}
|
|
\end{align*}
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\begin{align*}
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\meas(K)=\int\limits_K 1\d x=\int\limits_{\hat{K}}\big|\det(B_K)\big|\d\hat{x}=\big|\det(B_K)\big|\cdot\underbrace{\meas(\hat{K})}_{\longrightarrow c(\hat{K},\hat{V},\hat{\Sigma})}
|
|
\end{align*}
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\begin{align*}
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\implies \big| v-I_K v\big|_{m,q,K}
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\leq c\cdot\frac{h_K^{r+1}}{\rho_K^m}\cdot\big|\meas(K)\big|^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\cdot|v|_{r+1,p,K}
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\end{align*}
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\end{proof}
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\begin{definition}[Formreguläre Familie von Triangulationen]\enter %4.15
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Eine Familie $\lbrace\T_h\rbrace_{h}$ von geeigneten Triangulationen von $\Omega$ heißt \textbf{formregulär / quasi-uniform}
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$:\Longleftrightarrow$
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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\item $\begin{aligned}
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\exists\sigma>0:\forall h:\forall K\in\T_h:h_K\leq\sigma\cdot \rho_K
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\end{aligned}$
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\item Der Familienparameter h geht nach 0 $\iff$ die Dreiecke werden verfeinert, siehe Abbildung \ref{AbbFamilienparameterKonvergenz}.
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\begin{figure}[H]
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pics/Sketch3.png}
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\caption{Beispielhafte Verfeinerung der Triangulierung mit einhergehender Konvergenz des Familienparameters}
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\label{AbbFamilienparameterKonvergenz}
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\end{center}
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\end{figure}
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{theorem}\label{theorem4.16}
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Für eine formreguläre Familie von Finiten-Elementen $(K,V,\Sigma)$, alle affin-äquivalent zu $(\hat{K},\hat{V},\hat{\Sigma})$, ist die Abschätzung
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\begin{align*}
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\big| v-I_K v\big|\leq\tilde{c}\cdot\big(\meas(K)\big)^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\cdot h_K^{r+1-m}\cdot|v|_{r+1,p,K}
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\end{align*}
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erfüllt unter den Voraussetzungen von Theorem \ref{theorem4.14}. Außerdem gilt die Abschätzung dann für die Norm anstelle der Semi-Norm:
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\begin{align*}
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\big\Vert v-I_K v\big\Vert\leq\tilde{c}\cdot\big(\meas(K)\big)^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\cdot h_K^{r+1-m}\cdot|v|_{r+1,p,K}
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\end{align*}
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\end{theorem}
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\begin{theorem}\label{theorem4.17}
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Sei $V:=H_0^1(\Omega)$, $V_h\subseteq V$ ein Raum von Finiten Elementen auf $\T_h$ (gehörend zu einer formregulären Familie) und seien $(K,V,\Sigma)$ affin-äquivalent zu $(\hat{K},\hat{V},\hat{\Sigma})$.\\
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Weiterhin sei $a$ eine koerzive, stetige Bilinearform auf $V$ und $l$ eine stetige Linearform auf $V$.
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Außerdem seien $u\in V$ und $u_h\in V_h$ die eindeutigen Lösungen des Variationsproblems auf $V$ bzw. $V_h$.
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Zusätzlich seien $\hat{N}_i\in\hat{\Sigma}$ stetig auf $H^{r+1}(\hat{K})$ und $P_r(\hat{K})\subseteq\hat{V}\subseteq H^1(\hat{K})$\\
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Dann gibt es eine Konstante $c$, unabhängig von $h$ so, dass
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\begin{align*}
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\Vert u-u_h\Vert_{1,2,\Omega}\leq c\cdot h^r\cdot|u|_{r+1,2,\Omega}
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\end{align*}
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unter der Voraussetzung, dass
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\begin{align*}
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u\in H^1_0(\Omega)\cap H^{r+1}(\Omega).
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\end{align*}
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Céa's Lemma \ref{theorem2.2CeasLemma} liefert
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\begin{align*}
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\Vert u-u_h\Vert_{1,2,\Omega}&\leq c\cdot \inf\limits_{v_h\in V_h}\Vert u-v_h\Vert_{1,2,\Omega}
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\leq c\cdot\Vert u-I_h u\Vert_{1,2,\Omega}
|
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\end{align*}
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|
Mit Theorem \ref{theorem4.16} folgt mit $m=1,p=q=2$ dann die Lokalisierungseigenschaft
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\begin{align*}
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\big(I_h v\big)\big|_K&=I_K\big(v|_K\big)\\
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\implies
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|
\big\Vert u-I_K u\big\Vert_{1,2,K}&\leq c\cdot h_K^r\cdot|u|_{r+1,2,K}\\
|
|
\implies
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|
\big\Vert u-I_h u\big\Vert^2_{1,2,\Omega}
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|
&=\sum\limits_{K\in\T_h}\big\Vert u-I_h u\big\Vert^2_{1,2,K}\\
|
|
&=\sum\limits_{K\in\T_h}\big\Vert u-I_K u\big\Vert^2_{1,2,K}\\
|
|
&\leq
|
|
c\cdot\sum\limits_{K\in\T_h}\underbrace{h_K^{2\cdot r}}_{\leq h^{2\cdot r}}\cdot|u|^2_{r+1,2,K}\\
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|
&\leq c\cdot h^{2\cdot r}\cdot\underbrace{\sum\limits_{K\in\T_h}|u|^2_{r+1,2,K}}_{=|u|^2_{r+1,2,\Omega}}\\
|
|
&=c\cdot h^{2\cdot r}\cdot|u|^2_{r+1,2,\Omega}
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\end{align*}
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\end{proof}
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\begin{theorem}\label{theorem4.18}
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Zusätzlich zu den Voraussetzungen von Theorem \ref{theorem4.17} nehmen wir hier noch an, dass das Problem
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\begin{align*}
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\text{Finde }\varphi\in V\text{ so, dass }a(v,\varphi)=(g,v)~\forall v\in V.
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\end{align*}
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%provides?
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für alle $g\in L^2(\Omega)$ eine eindeutige Lösung $\varphi_g\in H^2(\Omega)$ hat, die
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\begin{align*}
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\Vert\varphi_g\Vert_{2,2,\Omega}\leq c\cdot\Vert g\Vert_{0,2,\Omega}
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\end{align*}
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erfüllt. Dann existiert eine Konstante $c$, unabhängig von $h$ so, dass
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\begin{align*}
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\Vert u-u_h\Vert_{0,2,\Omega}\leq c\cdot h^{r+1}\cdot|u|_{r+1,2,\Omega}
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\end{align*}
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falls $u\in H^{r+1}(\Omega)$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Nutze Theorem \ref{theorem2.3AubinNitscheDualitaetsargument} mit $H=L^2(\Omega),V=H_0^1(\Omega)$:
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\begin{align*}
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\Vert u-u_h\Vert_{0,2,\Omega}
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&\leq c\cdot\underbrace{\Vert u-u_h\Vert_{1,2,\Omega}}_{\leq c \cdot h^r\cdot|u|_{r+1,2,\Omega}}\cdot\sup\limits_{\begin{subarray}{c}g\in L^2(\Omega)\\\Vert g\Vert_{0,2,\Omega}=1\end{subarray}}\inf\limits_{v_h\in V_h}\Vert\varphi_g-v_h\Vert_{1,2,\Omega}
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|
\end{align*}
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\begin{align*}
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\implies
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|
\inf\limits_{v_h\in V_h}\Vert\varphi_g-v_h\Vert_{1,2,\Omega}
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&\leq\big\Vert\varphi_g -I_h\varphi_g\big\Vert_{1,2,\Omega}\\
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|
&\leq c\cdot h\cdot|\varphi_g|_{2,2,\Omega}\\
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|
&\leq c\cdot h\cdot\underbrace{\Vert g\Vert_{0,2,\Omega}}_{=1}
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|
\end{align*}
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|
\begin{align*}
|
|
\implies
|
|
\sup\limits_{\begin{subarray}{c}g\in L^2(\Omega)\\\Vert g\Vert_{0,2,\Omega}=1\end{subarray}}\inf\limits_{v_h\in V_h}\Vert\varphi_g-v_h\Vert_{1,2,\Omega}
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\leq c\cdot h
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\end{align*}
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\end{proof}
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Diese Abschätzungen ist eine \textbf{a priori Abschätzung}, d.h. man kann ohne Berechnungen Aussagen machen.
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\begin{lemma}[Inverse Abschätzung]\label{lemma4.19InverseAbschaetzung}\enter
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Sei $\lbrace V_h\rbrace$ eine Familie von affin-äquivalenten, formregulären Finiten-Elementen.\\
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Dann gibt es eine konstante $c$, unabhängig von $h$, so, dass
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\begin{align*}
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|
|w_h|_{1,2,K}\leq c\cdot h^{-1}_K\cdot\Vert w_h\Vert_{0,2,K}\qquad\forall w\in V_h
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\end{align*}
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|
Global erhalten wir
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\begin{align*}
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|w_h|_{1,2,\Omega}\leq c\cdot h^{-1}_{\min}\cdot\Vert w_h\Vert_{0,2,\Omega}\qquad\forall w\in V_h
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\end{align*}
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wobei $h_{\min}:=\min\limits_{K\in\T_h} h_K$
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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\begin{align*}
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|w_h|_{1,2,K}
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\overset{\ref{theorem4.9}}&{\leq}
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c\cdot\underbrace{\Vert B_K^{-1}\Vert^1}_{\leq h_K^{-1}}\cdot\big|\det(B_K)\big|^{\frac{1}{2}}\cdot\big|\underbrace{\hat{w}}_{=w_h\circ F_K}\big|_{1,2,\hat{K}}\\
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|
|\hat{w}_h|_{1,2,\hat{K}}
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|
&\leq \Vert\hat{w}\Vert_{1,2,\hat{K}}
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|
\stackrel{(\ast)}{\leq}
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c\cdot\Vert\hat{w}_h\Vert_{0,2,\hat{K}}\\
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|
\implies
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|
|w_h|_{1,2,K}
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&\leq c\cdot h_K^{-1}\cdot\big|\det(B_K)\big|^{\frac{1}{2}}\cdot\Vert\hat{w}_h\Vert_{0,2,\hat{K}}\\
|
|
&\leq c\cdot h_K^{-1}\cdot\big|\det(B_K)\big|^{\frac{1}{2}}\cdot\underbrace{\Vert B_K\Vert^0}_{=1}\cdot\big|\det(B_K)\big|^{-\frac{1}{2}}\cdot\Vert w_h\Vert_{0,2,K}\\
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|
&= c\cdot h_K^{-1}\cdot\Vert w_h\Vert_{0,2,K}
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\end{align*}
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Bei ($\ast$) wird die Normäquivalenz auf endlichen-dimensionalen $\hat{V}$ benutzt.
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\end{proof} |